Dissertation Composition Monoid

Let Q be a quiver. M. Reineke and A. Hubery investigated the connection between the composition monoid CM(Q), as introduced by M. Reineke, and the generic composition algebra Cq(Q), as introduced by C. M. Ringel, specialised at q = 0. In this thesis we continue their work. We show that if Q is a Dynkin quiver or an oriented cycle, then C0(Q) is isomorphic to the monoid algebra QCM(Q). Moreover, if Q is an acyclic, extended Dynkin quiver, we show that there exists a surjective homomorphism Φ: C0(Q)→ QCM(Q), and we describe its non-trivial kernel. Our main tool is a geometric version of BGP reflection functors on quiver Grassmannians and quiver flags, that is varieties consisting of filtrations of a fixed representation by subrepresentations of fixed dimension vectors. These functors enable us to calculate various structure constants of the composition algebra. Moreover, we investigate geometric properties of quiver flags and quiver Grassmannians, and show that under certain conditions, quiver flags are irreducible and smooth. If, in addition, we have a counting polynomial, these properties imply the positivity of the Euler characteristic of the quiver flag. Zusammenfassung Sei Q ein Köcher. M. Reineke und A. Hubery untersuchten den Zusammenhang zwischen dem von M. Reineke eingeführten Kompositionsmonoid CM(Q) und der bei q = 0 spezialisierten Kompositionsalgebra Cq(Q), die von C. M. Ringel definiert wurde. Diese Dissertation führt diese Arbeit fort. Wir zeigen, dass C0(Q) isomorph zu der Monoidalgebra QCM(Q) ist, wenn Q ein Dynkin Köcher oder ein orientierter Zykel ist. Wenn Q ein azyklischer erweiterter Dynkin Köcher ist, so zeigen wir, dass es einen surjektiven Homomorphismus Φ: C0(Q) → QCM(Q) gibt, und beschreiben dessen nicht trivialen Kern. Um dies zu beweisen, müssen wir viele Strukturkonstanten der Kompositionsalgebra berechnen. Dazu führen wir eine geometrische Version von BGP-Spiegelungsfunktoren auf Köchergrassmannschen und Köcherfahnen ein. Dies sind Varietäten bestehend aus Filtrierungen einer festen Darstellung durch Unterdarstellungen fester Dimensionvektoren. Außerdem untersuchen wir die geometrischen Eigenschaften von Köchergrassmannschen und Köcherfahnen. Wir erhalten ein Kriterium, das uns erlaubt festzustellen, wann eine Köcherfahne irreduzibel und glatt ist. Wenn man zusätzlich noch ein Zählpolynom hat, so folgt aus diesen Eigenschaften die Positivität der Euler-Charakteristik.